集合太簡單？你可能沒抓住核心

最近很多同學在后臺留言，說集合這一章學得云里霧里，考試總是丟分。我告訴你，集合是高中數學最簡單的章節之一，沒有之一。你之所以覺得難，是因為你沒有抓住本質。今天，我就用最通俗的語言，把集合這一章翻來覆去講清楚，讓你以后遇到集合題，要么不做，做就拿滿分。

集合到底是個什么東西？

集合，這個詞聽起來高大上其實就是一堆東西放在一起。你家里有一堆書，這堆書就是一個集合；你們班有一群同學，這群同學也是一個集合。數學上，集合就是指具有某種特定性質的事物的總體。

集合有三個特性，你必須死記硬背下來：

- 確定性：一個東西在不在集合里，必須很明確，不能含糊。比如“所有高個子”就不是一個集合，因為多高算高？沒有明確標準。但“身高180厘米以上的同學”就是一個集合。

- 互異性：集合里的元素不能重復出現。你見過一個班里有兩個張三嗎？就算有，老師也叫他們張三1、張三2。集合也一樣，相同的元素只能出現一次。

- 無序性：集合里的元素沒有順序要求。{1,2,3}和{3,2,1}是同一個集合，就像你買水果，先買蘋果后買香蕉，和先買香蕉后買蘋果，水果還是那些水果。

表示集合的四種方法，你會幾種？

數學上表示集合有四種方法，你必須全部掌握，因為考試中隨時可能出現。

第一種是列舉法。就是把集合里的元素全部寫出來，用大括號括起來。比如你們小組有四個人：小明、小紅、小剛、小麗，就可以表示為{小明, 小紅, 小剛, 小麗}。這種方法簡單粗暴，適用于元素不多的情況。

第二種是描述法。就是用一句話描述集合中元素的共同特征。比如所有偶數，就可以表示為{x ∈ | x是偶數}，或者更簡單地{x | x = 2k, k ∈ }。注意，這里用的是豎線，意思是“滿足以下條件的x”。再比如，所有大于3的實數，就可以表示為{x ∈ | x > 3}。

第三種是語言描述法。就是用文字描述。比如“不是直角三角形的三角形”，這就是一個集合，雖然沒有明確寫出元素，但描述很清楚。

第四種是Venn圖。就是用圖形表示集合之間的關系。比如用兩個相交的圓表示兩個集合的交集。這種方法在做題時特別有用，可以直觀地看出集合之間的關系。

常用的數集記法，你必須倒背如流：

- 自然數集（也就是非負整數集）：

- 正整數集：* 或

- 整數集：

- 有理數集：

- 實數集：

考試時看到這些符號，你必須第一時間反應出來，否則做題會很慢。

集合之間到底什么關系？

集合之間的關系有三種：包含、相等、真子集。

包含就是A集合的所有元素都在B集合里，記作A B。你要注意，包含有兩種情況：一是A是B的一部分，二是A和B是同一個集合。所以，任何一個集合都是它本身的子集，即A A。

如果A B，但A ≠ B，那么A就是B的真子集，記作A B（或B A）。真子集就是A比B小，但A里的東西B都有。

相等就是兩個集合的元素完全相同，記作A = B。比如A = {x | x - 1 = 0}，B = {-1, 1}，這兩個集合相等，因為它們的元素都是-1和1。

這里有個非常重要的傳遞性：如果A B，B C，那么A C。這個性質在證明題中經常用到。

還有一個超級重要的點：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。這句話你給我抄十遍！考試中經常有同學忽略空集，結果丟分。

有n個元素的集合，有2個子集，有2 - 1個真子集。這個公式必須而且要會推導。比如一個集合有3個元素，那它有2 = 8個子集，有7個真子集。

集合的運算，就這三招

集合有三種運算：交集、并集、補集。學會這三招，集合運算題基本拿下。

交集：就是既屬于A又屬于B的元素組成的集合，記作A ∩ B。用數學語言表示就是A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。你可以理解為兩個集合重疊的部分。

并集：就是屬于A或者屬于B的元素組成的集合，記作A ∪ B。用數學語言表示就是A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。你可以理解為兩個集合合并在一起。

補集：就是在全集S中不屬于A的元素組成的集合，記作A。用數學語言表示就是A = {x ∈ S | x A}。補集就是全集里把A去掉剩下的部分。

這三種運算滿足一些規律，比如德摩根定律：

- (A ∩ B) = (A) ∪ (B)

- (A ∪ B) = (A) ∩ (B)

這個定律考試中經常用到，你必須會推導。

高考集合題，就考這些

高考中集合題通常不難，但你要知道它考什么。

第一類題是集合的基本概念題。比如判斷一個東西能不能組成集合，或者判斷兩個集合的關系。這類題只要記住集合的三個特性，就能輕松搞定。

第二類是集合的運算題。給你兩個集合，讓你求交集、并集、補集。這類題，畫Venn圖是最簡單的方法。你把兩個集合畫成兩個相交的圓，然后標出重疊部分，就是交集；兩個圓覆蓋的全部，就是并集；去掉一個圓剩下的部分，就是補集。一目了然。

第三類是集合的關系證明題。這類題稍難，通常需要用到集合的包含、相等定義，以及傳遞性。證明A B，你需要證明A的任意一個元素都在B里；證明A = B，你需要證明A B且B A。

第四類是新定義題。高考經常會給出一個新的運算或概念，讓你根據定義做題。這類題不要慌，仔細讀懂定義，按照定義操作就行。

集合這一章，概念多，但都不難。你只要把基本概念搞清楚，表示方法會運用，集合關系和運算掌握好，再做幾道題練練手，考試絕對沒問題。

集合是高中數學最簡單的章節，沒有之一。你連集合都搞不定，后面函數、方程、更難的知識怎么辦？趕緊把今天的文章多看幾遍，整理一下筆記，該背的背，該記的記。

高考數學140分，從搞定集合開始！